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$$\sin{x}=x-{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!} \cdots$$이다. 주어진 피적분함수를 이항급수로 나타내면 $$1+\left( -{1\over3} \right)\sin{x}+{{\left( -{1\over3} \right) \left( -{4\over3} \right)} \over 2!} (\sin{x})^2 +{{\left( -{1\over3} \right) \left( -{4\over3} \right)\left( -{7\over3} \right)} \over 3!} (\sin{x})^3 \cdots=1-{1\over3}\sin{x}+{2\over9}(\sin{x})^2-{28\over162}(\sin{x})^3 \cdots$$이니 이 중 상수항, $x$항, $x^2$항, $x^3$항만 뽑아내면 $$1-{1\over3}x+{2\over9}x^2-{19\over162}x^3 \cdots$$이다.
적분을 하면 $$\left[ x-{1\over6}x^2+{2\over27}x^3-{19\over162 \cdot 4}x^4 \cdots \right]_0^{1\over10}={1\over10}-{1\over6 \cdot 10^2}+{2\over 27 \cdot 10^3}-{19\over 162 \cdot 4 \cdot 10^4} \cdots$$이고 이는 교대급수판정법에 의해 수렴한다. $${19\over 162 \cdot 4 \cdot 10^4} \lt {1\over10000}$$이므로 이 적분의 근삿값은 $${1\over10}-{1\over6 \cdot 10^2}+{2\over 27 \cdot 10^3}$$ 이다.
※ 울프람알파로 구한 이 적분의 실제 값은 0.0984046이고, 우리가 구한 근삿값은 0.0984074이다.