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이 피적분함수는 $x=0, x=1 $에서 정의되지 않으므로 이상적분이다. $$\int {1\over \sqrt{x}-x} dx=\int {1\over \sqrt{x}}+{1\over 1-\sqrt{x}} dx$$이고 $$\int {1\over1-\sqrt{x}}dx$$는 $1-\sqrt{x}=t$의 치환을 하면 $$\int {2(t-1)\over t} dt=2t-2\ln{|t|}+C=2(1-\sqrt{x})-2\ln{|1-\sqrt{x}|}+C$$이다. 이상적분의 수렴 여부를 판단하기 위해 적분을 세 구간으로 나누면 $$\lim_{t_0 \to 0^+}\int_{t_0}^{1/2} {1\over \sqrt{x}-x} dx +\lim_{t_1 \to 1^-} \int_{1/2}^{t_1} {1\over \sqrt{x}-x} dx +\lim_{t_2 \to 1^+} \int_{t_2}^{4} {1\over \sqrt{x}-x} dx$$이다. 첫 번째 극한은 수렴하나 두 번째 극한이 수렴하지 않으므로 이 이상적분은 발산한다.(세 번째 극한은 수렴 여부를 보일 필요가 없다.)
해당 곡선을 매개변수로 나타내면 $$\begin{cases} x=2^{3/2}\cos^3{t} \\ y=2^{3/2}\sin^3{t}\end{cases}\enspace (0\leq t\leq 2\pi)$$이다. 따라서 곡선의 길이는 $$\int_0^{2\pi} \sqrt{\left({dx\over dt}\right)^2+\left({dy\over dt}\right)^2} dt=\int_0^{2\pi} \sqrt{(-2^{3/2}\cdot 3\cos^2{t}\sin{t})^2+(2^{3/2}\cdot 3\sin^2{t}\cos{t})^2} dt=6\sqrt{2}\int_0^{2\pi} {1\over2}|\sin{2t}| dt=12\sqrt{2}$$이다.
$$\int 2\pi x ds$$을 계산하면 된다. $$\int_{\cosh^{-1}{1}}^{\cosh^{-1}{5/4}} 2\pi x \sqrt{1+{\left(dx\over dy\right)}^2}dy$$로 계산하는 것이 더 편하다. 계산을 하자.
$$\int_{\cosh^{-1}{1}}^{\cosh^{-1}{5/4}} 2\pi \cosh{y} \sqrt{1+\sinh^2{y}}dy=2\pi \int_{0}^{\ln{2}} \cosh{y} \sqrt{1+\sinh^2{y}}dy$$에서 $\sinh{y}=\tan{u}$의 치환을 하면 $\cosh{y}dy=\sec^2{u}du$이니 $$2\pi \int_0^{\tan^{-1}{3/4}} \sec^3{u}du=2\pi\left[ {1 \over 2} (\tan{u}\sec{u} + \ln{|\tan{u}+\sec{u}|}) \right]_0^{\tan^{-1}{3/4}}$$이다. $\tan^{-1}{3/4}=\alpha$라 하면 $\tan{\alpha}=3/4$이고 $\sec{\alpha}=5/4$이다. 따라서 적분의 값은 $$\pi[\tan{\alpha}\sec{\alpha}+\ln{|\tan{\alpha}+\sec{\alpha}|}]=\left( {15\over16} +\ln{2}\right)\pi$$이다.
두 식을 연립하면 $$\sin{\theta}+\cos{\theta}=0$$가 되니 두 곡선의 교점은 $\theta=3\pi/4$, $\theta=7\pi/4$에 있다. $\theta=3\pi/4$를 대입하면 $r=1+{\sqrt{2}\over2}$이고 $\theta=7\pi/4$를 대입하면 $r=1-{\sqrt{2}\over2}$이다. 따라서 두 교점을 극좌표계로 표현하면 $(1+{\sqrt{2}\over2}, 3\pi/4)$, $(1-{\sqrt{2}\over2}, 7\pi/4)$이다.
두 교점은 $\theta=3\pi/4$ 위에 있으므로 두 교점 사이의 거리는 $$1+{\sqrt{2}\over2}+1-{\sqrt{2}\over2}=2$$이다.
두 곡선을 연립하면 $$\cos{\theta}(\sin{\theta}-\cos{\theta})=0$$이므로 두 곡선의 교점은 $\theta=\pi/4$, $\theta=\pi/2$, $\theta=3\pi/2$에 있다.
※ $\theta=5\pi/4$는 첫 번째 식에서 $r^2\lt 0$이므로 제외한다.
식을 세우기 위해 그림을 그리면 $\pi/4 \leq \theta\leq \pi/2$인 부분에서 첫 번째 곡선이 바깥쪽에 있는지 두 번째 곡선이 바깥쪽에 있는지 알기 힘들다.
수식으로 확인해 보자. $\pi/4 \leq \theta\leq \pi/2$에서 $$\sqrt{\sin{2\theta}} \gt \sqrt{2}\cos{\theta}$$이므로 첫 번째 곡선이 바깥쪽에 있다.
$0 \leq \theta\leq \pi/4$에서 공통 부분의 넓이는 $$\int_0^{\pi/4} {1\over2} \cdot \sin{2\theta}d\theta=\left[ -{1\over4}\cos{2\theta} \right]_0^{\pi/4}={1\over4}$$이고 $\pi/4 \leq \theta\leq \pi/2$에서 공통 부분의 넓이는 두 번째 곡선이 안쪽에 있으므로 $${\pi\over8}-{1\over4}$$이다. 따라서 두 넓이를 더하면 구하는 넓이는 $\pi/8$이다.
※ Desmos 그래프 페이지에서 주어진 두 곡선의 모양을 확인할 수 있다.
$$a_n={\tan^{-1}(1/n^2)\over \ln{n}}$$라 하자. $$b_n={1/n^2\over\ln{n}}$$라 하면 $$\lim_{n\to\infty} {a_n\over b_n}=1$$이다. $$b_n={1\over n^2\ln{n}} \leq {1\over n^2}$$이므로 $b_n$은 비교판정법에 의해 수렴한다. 따라서 $a_n$도 수렴한다.
$$a_n=(-1)^{n-1}{\sqrt{n^2+1}\over n}$$라 하면 $$\lim_{n\to\infty} a_n$$은 발산하므로 발산테스트에 의해 이 급수는 발산한다.
$$b_n={\ln{n}\over n}$$라 하면 이 급수는 교대급수이다. $$\lim_{n\to\infty} b_n=0$$이고 $n\geq 3$에서 $b_n$은 양수이고 감소하므로 교대급수판정법에 의해 이 급수는 수렴한다.
절대수렴하는지 알아보기 위해 급수에 절댓값을 씌우면 $$\sum_{n=3}^{\infty} {\ln{n}\over n}$$이고 적분판정법을 이용하면 $$\int_3^{\infty} {\ln{x}\over x} dx=\lim_{t\to\infty} \left[ {(\ln{x})^2\over 2} \right]_3^t$$로 발산하므로 이 급수는 절대수렴하지 않는다. 따라서 이 급수는 조건수렴한다.
※ $\ln{n}/n$의 수렴 여부를 판정하기 위해 비교판정법을 사용해도 된다.
$$a_n={(2-x)^n\over (2n-1)\cdot 3^n}$$라 하자. Ratio Test를 적용하면 $$\lim_{n \to \infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n \to \infty}\left| {(2-x)^{n+1}\over (2n+1)\cdot 3^{n+1}} \cdot {(2n-1)\cdot 3^n\over(2-x)^n} \right|={1\over3}|2-x|$$이므로 $${1\over3}|2-x| \lt 1 \Leftrightarrow |x-2|\lt 3$$이면 이 급수는 수렴한다.
이제 $|x-2|=3$인 경우를 살펴보자. $x=-1$이면 주어진 급수는 $\sum {1\over 2n-1}$이 되고 이는 비교판정법에 의해 발산한다.
$x=5$이면 주어진 급수는 $\sum {(-1)^n\over 2n-1}$이 되고 이는 교대급수판정법에 의해 수렴한다. 따라서 수렴구간은 $-1 \lt x \leq5$이다.
$f(x)$를 멱급수로 나타내면 $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^n$$이다. $$f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} nx^{n-1}$$$$f''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} n(n-1)x^{n-2}$$이므로 $h(x)$의 멱급수 형태는 $$h(x)=xf'(x)+x^2f''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} n^2 x^n$$이다. 미분을 해도 멱급수의 수렴반지름 $R$은 변하지 않으므로 $h(x)$의 수렴반지름은 $1$이다.
위에서 구한 $h(x)$에 $x=1/2$를 대입하면 문제에서 주어진 급수 꼴이 된다. $$f'(x)={1\over(1-x)^2},f''(x)={2\over(1-x)^3}$$이니 구하는 급수의 합은 $$h\left({1\over2}\right)={1\over2}f'\left({1\over2}\right)+{1\over4}f''\left({1\over2}\right)=2+4=6$$이다.
$$\sin{x}=x-{x^3\over 3!}+{x^5\over 5!} \cdots$$이다. 주어진 피적분함수를 이항급수로 나타내면 $$1+\left( -{1\over3} \right)\sin{x}+{{\left( -{1\over3} \right) \left( -{4\over3} \right)} \over 2!} (\sin{x})^2 +{{\left( -{1\over3} \right) \left( -{4\over3} \right)\left( -{7\over3} \right)} \over 3!} (\sin{x})^3 \cdots=1-{1\over3}\sin{x}+{2\over9}(\sin{x})^2-{28\over162}(\sin{x})^3 \cdots$$이니 이 중 상수항, $x$항, $x^2$항, $x^3$항만 뽑아내면 $$1-{1\over3}x+{2\over9}x^2-{19\over162}x^3 \cdots$$이다.
적분을 하면 $$\left[ x-{1\over6}x^2+{2\over27}x^3-{19\over162 \cdot 4}x^4 \cdots \right]_0^{1/10}={1\over10}-{1\over6 \cdot 10^2}+{2\over 27 \cdot 10^3}-{19\over 162 \cdot 4 \cdot 10^4} \cdots$$이고 이는 교대급수판정법에 의해 수렴한다. $${19\over 162 \cdot 4 \cdot 10^4} \lt {1\over10000}$$이므로 이 적분의 근삿값은 $${1\over10}-{1\over6 \cdot 10^2}+{2\over 27 \cdot 10^3}$$ 이다.
※ 울프람알파로 구한 이 적분의 실제 값은 0.0984046이고, 우리가 구한 근삿값은 0.0984074이다.