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$$f_x(x,y)=3x^2-12y$$$$f_y(x,y)=-12x+24y^2$$이고 두 식이 모두 0이 되는 $(x,y)$ 쌍은 $(0,0)$과 $(2,1)$뿐이다. 이계도함수 판정법을 사용해 보자. $$f_{xx}=6x,f_{yy}=48y,f_{xy}=-12$$에서 $D=288xy-144$이다. $(0,0)$은 $D\lt 0$이므로 $f(0,0)=0$에서 안장점은 $(0,0,0)$이다. $(2,1)$은 $D\gt 0$이고 $f_{xx}\gt 0$이므로 극소를 갖는 점이다.
극솟값은 $f(2,1)=-8$이다.
제약조건은 $g(x,y,z)=x+y-z=0$과 $h(x,y,z)=x^2+2z^2=1$이다. $\nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h$인 $x,y,z$를 찾으면 된다. 식을 세우면 $$\begin{cases} 3=\lambda+\mu 2x \\ -1=\lambda \\ -3=-\lambda+\mu 4z \\ g(x,y,z)=0 \\ h(x,y,z)=1 \end{cases}$$이다. $$x={2\over\mu},z=-{1\over\mu}$$이니 $\mu^2=6$에서 $x=\pm {2\over\sqrt{6}}$이고 $z=\mp {1\over\sqrt{6}}$이다. $$f(x,y,z)=3x-y-3z=4(x-z)$$이니 최댓값은 $x={2\over\sqrt{6}}$일 때 $2\sqrt{6}$, 최솟값은 $x=-{2\over\sqrt{6}}$일 때 $-2\sqrt{6}$이다.
$dydx$ 혹은 $dxdy$의 순서로 모두 적분을 계산할 수 있다. $dxdy$의 순서로 적분을 하면 $$\int_0^{\pi/6} \int_0^{\pi/3} x\sin{(x+y)} dx dy=\int_0^{\pi/6} [-x\cos{(x+y)}+\sin{(x+y)}]_{x=0}^{x=\pi/3} dy=\int_0^{\pi/6} -{\pi\over3}\cos{(y+{\pi\over3})}+\sin{(y+{\pi\over3})}-\sin{y} dy=\left[ -{\pi\over3}\sin{(y+{\pi\over3})}-\cos{(y+{\pi\over3})}+\cos{y} \right]_0^{\pi/6}=\left({\sqrt{3}\over6}-{1\over3} \right)\pi+{\sqrt{3}\over2}-{1\over2}$$이다.
이대로는 적분을 할 수 없으므로 적분 순서를 바꾸자. 그러면 $$\int_0^2 \int_0^{y^2} \sqrt{y^3+1} dxdy=\int_0^2 y^2\sqrt{y^3+1} dy$$이고 $\sqrt{y^3+1}=u$의 치환을 하면 $$\int_1^3 {2u^2\over 3} du={2\over3}\left[ {u^3\over3} \right]_1^3={52\over9}$$이다.
두 식을 연립하면 $z(z-3)=0$이니 두 입체는 $z=0,z=3$에서 만난다. 따라서 주어진 표면은 $$\{ (\rho,\phi,\theta) \mid \rho=4\cos{\phi},0\leq\phi\leq\pi/6, 0\leq\theta\leq 2\pi \}$$이다.
이를 매개변수화하면 $$\textbf{r}(\phi,\theta)=\langle 4\cos{\phi}\sin{\phi}\cos{\theta},4\cos{\phi}\sin{\phi}\sin{\theta},4\cos{\phi}\cos{\phi} \rangle \ (0\leq\phi\leq\pi/6, 0\leq\theta\leq 2\pi)$$이고 $$\textbf{r}_\phi=\langle 4\cos{2\phi}\cos{\theta},4\cos{2\phi}\sin{\theta},-4\sin{2\phi}\rangle,\textbf{r}_\theta=\langle -2\sin{2\phi}\sin{\theta},2\sin{2\phi}\cos{\theta},0\rangle,\textbf{r}_\phi \times \textbf{r}_\theta =\langle 8\sin^2{2\phi}\cos{\theta},-8\sin^2{2\phi}\sin{\theta},4\sin{4\phi} \rangle$$이다. 따라서 $$|\textbf{r}_\phi \times \textbf{r}_\theta|=4|\sin{2\phi}| \sqrt{1+3\cos^2{2\phi}}$$이고 표면의 넓이는 $$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/6} 4|\sin{2\phi}| \sqrt{1+3\cos^2{2\phi}} d\phi d\theta=\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/6} 4\sin{2\phi} \sqrt{1+3\cos^2{2\phi}} d\phi d\theta \quad (\because 0 \leq \phi \leq \pi/6)$$에서 $\cos{2\phi}={\tan{u}\over\sqrt{3}}$의 치환을 하면 $-2\sin{2\phi} d\phi={\sec^2{u} du\over\sqrt{3}}$이다.
$$\int_0^{2\pi} {2\over\sqrt{3}} \int_{\tan^{-1}{(\sqrt{3}/2)}}^{\tan^{-1}{\sqrt{3}}} \sec^3{u} du d\theta$$에서 $\tan^{-1}{(\sqrt{3}/2)}=\alpha$라 하고 $\tan^{-1}{\sqrt{3}}=\beta$라 하면 주어진 적분은 $$\int_0^{2\pi} {2\over\sqrt{3}} \left[ {1\over2}(\sec{u}\tan{u}+\ln{|\sec{u}+\tan{u}|}) \right]_\alpha^\beta d\theta={2\over\sqrt{3}} \left[ 2\sqrt{3}+\ln{(2+\sqrt{3})}-{\sqrt{21}\over4} -\ln{\left( \sqrt{3}+\sqrt{7}\over2 \right)} \right] \pi$$이다.
두 식을 연립하면 $x^2+y^2=16$을 얻고 이것이 적분 구간 $D$가 된다. 포물면(Parabolid)이 위에 있으므로 구하는 부피는 $$\iint_D (24-x^2-y^2)-2\sqrt{x^2+y^2} dA$$이고 극좌표로 변환하면 $$\int_0^{2\pi} \int_0^4 (24-r^2-2r)r drd\theta=\int_0^{2\pi} \left[ 12r^2-{r^4\over4}-{2\over3}r^3 \right]_{r=0}^{r=4} d\theta={512\over3}\pi$$이다.
영역 $E$를 구좌표계로 나타내면 $$E=\{ (\rho,\phi,\theta) \mid 0\leq\rho\leq 2, 0\leq\phi\leq\pi/3, 0\leq\theta\leq 2\pi \}$$이므로 구하는 적분은 $$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/3} \int_0^2 \rho^3 \sin^2{\phi} d\rho d\phi d\theta=4\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/3} \sin^2{\phi} d\phi d\theta={4\over3}\pi^2-\sqrt{3}\pi$$이다.
이 변환에 대응하는 영역 $S$는 $$S=\{ (u,v) \mid 1\leq u \leq 3,\sqrt{u}\leq v\leq\sqrt{3u} \}$$이다. 야코비안은 $${\partial(x,y)\over\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial x}{\partial u} & \cfrac{\partial x}{\partial v} \\ \cfrac{\partial y}{\partial u} & \cfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1/v & -u/v^2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}={1\over v}$$이니 구하는 적분은 $$\int_1^3 \int_\sqrt{u}^\sqrt{3u} {u\over v} dv du=\int_1^3 [u\ln{v}]_{v=\sqrt{u}}^{v=\sqrt{3u}} du={1\over2}\ln{3}\int_1^3 u du=2\ln{3}$$이다.
$C_1$을 $C$ 중 $-2 \leq x \leq 2$인 부분, $C_2$를 $2\leq x \leq 5$인 부분이라고 하면 $$\int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r}=\int_{C_1} \textbf{F} \cdot d\textbf{r}+\int_{C_2} \textbf{F} \cdot d\textbf{r}$$이다. $C_1$을 매개변수화하면 $\textbf{r}_1(t)=\langle t, -t^2 \rangle \ (-2 \leq t \leq 2)$이고 $C_2$를 매개변수화하면 $\textbf{r}_2(t)=\langle 2+3t,-4+5t \rangle \ (0 \leq t \leq 1)$이다. 따라서 주어진 적분 중 첫 번째 부분은 $$\int_{C_1} \textbf{F} \cdot d\textbf{r}=\int_{-2}^2 \textbf{F}(\textbf{r}_1(t)) \cdot \textbf{r}_1'(t) dt=\int_{-2}^2 \langle -t^3,t+t^2 \rangle \cdot \langle 1,-2t \rangle dt=\int_{-2}^2 -3t^3-2t^2 dt=\left[ -{2t^3\over3} \right]_{-2}^2=-{32\over3}$$이다.
두 번째 부분은 $$\int_{C_2} \textbf{F} \cdot d\textbf{r}=\int_0^1 \textbf{F}(\textbf{r}_2(t)) \cdot \textbf{r}_2'(t) dt=\int_0^1 \langle 15t^2-28t+5,2t+4 \rangle \cdot \langle 3, 5\rangle dt=\int_0^1 45t^2-74t+35 dt=[15t^3-37t^2+35t]_0^1=13$$이다. 따라서 구하는 적분은 $$-{32\over3}+13={7\over3}$$이다.
$\operatorname{curl}\textbf{F}=0$이므로 $\textbf{F}$는 보존장이다. 퍼텐셜 함수 $f$를 구하기 위해 각 성분을 적분하면 $f(x,y)=x+ye^{-x}$를 얻는다.
따라서 선적분의 기본정리에 의해 $$\int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r}=f(1,2)-f(0,1)={2\over e}$$이다.
주어진 곡선 $C$로 둘러싸인 영역을 $D$라 하자. 그린 정리에 의해 주어진 선적분은 $$\iint_D 2y-{1\over x+1}dA$$이다. 영역 $D$는 $$D=\{ (x,y) \mid 0\leq x\leq 1, x^2\leq y \leq x \}$$이므로 $$\iint_D 2y-{1\over x+1}dA=\int_0^1 \int_{x^2}^x 2y-{1\over x+1} dy dx=\int_0^1 x^2-x^4+x-2+{2\over x+1} dx=\left[ {x^3\over3}-{x^5\over5}+{x^2\over2}-2x+2\ln{|x+1|} \right]_0^1=2\ln{2}-{41\over30}$$이다.