메인 페이지로 돌아가기
곡선의 길이 공식을 사용하면 $$L=\int_1^2 \sqrt{1+\left({dy\over dx}\right)^2} dx$$에서 $$L=\int_1^2 {x^4+1 \over 2x^2} dx=\left[ {x^3 \over 6}-{1\over 2x} \right]_1^2={17\over12}$$이다.
$$\int 2\pi y ds=\int 2\pi f(x) \sqrt{1+\left({dy \over dx}\right)^2}dx=\int 2\pi y \sqrt{1+\left({dx \over dy}\right)^2}dx$$를 활용하자.
$dy/dx$를 활용하면 $$\int_1^2 2\pi \cdot 2\sqrt{x} \sqrt{1+{1\over x}} dx={8\pi \over 3}(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})$$이다.
$dx/dy$를 활용하면 $x=\dfrac{y^2}{4}$이고 $2 \leq y \leq 2\sqrt{2}$이니 $$\int_2^{2\sqrt{2}} 2\pi \cdot y \sqrt{1+\left({y\over 2}\right)^2} dy={8\pi \over 3}(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})$$이다.
$${dy \over dx}={2\cos{t}-2\cos{2t} \over -2\sin{t}+2\sin{2t}}$$이니 접선이 y축에 평행하게 하는(vertical) $t$는 $$-2\sin{t}+2\sin{2t}=0, 2\cos{t}-2\cos{2t} \neq 0$$의 해이다.
첫 번째 식을 정리하면 $$(2\cos{t}-1)\sin{t}=0$$이고 두 번째 식을 정리하면 $$\cos{t} \neq 1, \cos{t} \neq {-{1\over2}}$$이니 조건을 만족하는 모든 $t$의 값은 $t=-\pi/3, \pi/3, \pi, 5\pi/3, 7\pi/3$이다.
또한 분모와 분자가 모두 0이 되는 $t$의 값은 $t=0,2\pi$이니 극한을 취해 접선의 기울기를 알아보면 $$\lim_{t \to 0} {dy\over dx}=0$$이니 조건에 맞지 않는다. 따라서 모든 $t$의 값의 합은 $5\pi$이다.
※ 이 곡선은 $r=f(\theta)$ 꼴의 closed form으로 나타낼 수 없다. $r=2-2\cos{\theta}$를 x축 방향으로 1만큼 평행이동시킨 곡선이다.
접선이 x축에 평행하게 하는(horizontal) $t$는 $$-2\sin{t}+2\sin{2t} \neq 0, 2\cos{t}-2\cos{2t}=0$$의 해이니 위와 같이 정리하면 두 식을 동시에 만족하는 $t$의 값은 $2\pi/3,4\pi/3$이다. 여기에 위에서 구한 $t=0$인 점을 추가하면 구하는 점은 $$(1,0),(-{1\over2},{3\sqrt{3}\over2}),(-{1\over2},{-3\sqrt{3}\over2})$$이다.
두 곡선의 교점을 구하기 위해 연립하면 $$\sin{\theta}=\cos{\theta}$$을 얻으므로 교점은 $\theta=\pi/4$, $\theta=5\pi/4$이다. 두 곡선을 그려 보면 첫 번째 곡선을 $\theta=\pi/4$부터 $\theta=5\pi/4$까지 적분한 후 2배하면 공통부분의 넓이가 된다는 것을 알게 된다. 따라서 적분을 하면 $$2\int_{{\pi \over 4}}^{5\pi \over 4} {1\over2} (3+2\cos{\theta})^2 d\theta=11\pi-12\sqrt{2}$$이다.
$\DeclareMathOperator\comp{comp} \DeclareMathOperator\proj{proj}$ $$a_n=\ln{\left(1 + {1 \over n^2}\right)}$$라고 하자. $n \to \infty$일 때 $a_n \to 0$이므로 Divergence Test는 실패한다.
$x \gt 0$에서 $\ln{(1+x)} \leq x$이므로 $$0 \lt \ln{\left(1 + {1 \over n^2}\right)} \leq {1 \over n^2}$$이다. $\sum \dfrac{1}{n^2}$은 수렴하므로 이 급수도 비교판정법에 의하여 수렴한다.
$\cosh{x} \geq 1$에서 $0 \lt \dfrac{1}{\cosh{x}} \leq 1$이고, $\tan^{-1}{x} \lt \dfrac{\pi}{2}$이니$$0 \leq {2\tan^{-1}{n} \over n\sqrt{n}\cosh{n}} \leq {2\tan^{-1}{n} \over n\sqrt{n}} \leq {\pi \over n\sqrt{n}}$$이다. $\sum \dfrac{\pi}{n\sqrt{n}}$은 p-급수 판정법에 의해 수렴하므로 이 급수도 비교판정법에 의하여 수렴한다.
$$b_n=\left(a_n+{1 \over 2}\right)^n$$이라 하고 Root Test를 적용하자. $$\lim_{n \to \infty} a_n=0$$이므로 $$\lim_{n \to \infty} \left| \left(a_n+{1 \over 2}\right)^n \right|^{1 \over n}={1\over2}$$이니 이 급수는 절대수렴한다.
$$a_n={x^n \over n\sqrt{\ln{n}}}$$라고 하자. Ratio Test를 적용하면 $$\lim_{n \to \infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n \to \infty}\left| {x^{n+1} \over (n+1)\sqrt{\ln{(n+1)}}} \cdot {n\sqrt{\ln{n}} \over x^n} \right|=|x| \lt 1$$이면 이 급수는 수렴한다.
이제 $|x|=1$일 때를 살펴보자. $x=-1$이면 이 급수는 교대급수판정법에 의하여 수렴한다.
$x=1$이면 주어진 급수는 $\sum \dfrac{1}{n\sqrt{\ln{n}}}$이다.$$\int_{2}^{\infty} {1 \over x\sqrt{\ln{x}}} dx$$는 양의 무한대로 발산하므로 적분판정법에 의해 이 급수는 발산한다.
따라서 수렴반경은 $R=1$, 수렴구간은 $-1 \leq x \lt 1$이다.
$${1 \over 1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^n$$을 생각하자. 양변을 미분하고 $x$에 $x^2$을 넣으면 $${1 \over (1-x^2)^2}=\sum_{n=0}^{\infty} nx^{2n-2}$$가 되고 양변에 $x$를 곱하면 $$f(x)={x \over (1-x^2)^2}=\sum_{n=1}^{\infty} nx^{2n-1}$$를 얻는다.
※ $n=0$일 때 $nx^{2n-1}=0$이므로 급수를 $n=1$일 때부터 시작하게 해도 상관없다.
주어진 피적분함수를 이항급수로 나타내자. $$(1+x^4)^{1/2}=1+{1 \over 2}x^4+{{\left(1 \over 2\right)}{\left(-1 \over 2\right)}x^8\over 2!}+{{\left(1 \over 2\right)}{\left(-1 \over 2\right)}{\left(-3 \over 2\right)}x^{12}\over 3!} \cdots$$이고, 소수점 아래 두 자리수까지 정확한 값을 구하기 위해서는 $|error| \lt 0.005 = \dfrac{5}{1000}$이어야 한다.
직접 적분을 하면 $$\int_0^1 (1+x^4)^{1/2} dx=\int_0^1 \left(1+{x^4 \over 2}-{x^8 \over 8}+{x^{12} \over 16} \cdots \right) dx=\left[x+{x^5 \over 10}-{x^9 \over 72}+{x^{13} \over 13\cdot 16}\cdots \right]_0^1=1+{1 \over 10}-{1 \over 72}+{1 \over 208} \cdots$$이고 이는 교대급수판정법에 의하여 수렴한다.
$\dfrac{1}{208} \lt \dfrac{1}{200}$이니 이 적분의 근삿값은 $$1+{1 \over 10}-{1 \over 72}$$이다.
※ 울프람알파로 구한 이 적분의 실제 값은 1.08943이고, 우리가 구한 근삿값은 1.086111이다.
첫 번째 풀이: 두 벡터의 사잇각의 크기와 길이를 이용하면 $$\textbf{a}=\lt 3,0,0 \gt, \textbf{b}=\lt 2,2,0 \gt$$라고 둘 수 있다. 그러면 $$\proj_{\textbf{a}} \textbf{b}=\lt 2,0,0 \gt, \proj_{\textbf{b}} \textbf{a}=\lt {3\over2},{3\over2},0 \gt$$이니 정답은 $3$이다.
두 번째 풀이: $$\textbf{a} \cdot \textbf{b} =|\textbf{a}||\textbf{b}|\cos{\theta}=6$$이고 $$\proj_{\textbf{a}} \textbf{b} \cdot \proj_{\textbf{b}} \textbf{a}={\textbf{a} \cdot \textbf{b} \over |\textbf{a}|^2} \textbf{a} \cdot {\textbf{b} \cdot \textbf{a} \over |\textbf{b}|^2} \textbf{b}={1\over2} (\textbf{a} \cdot \textbf{b})=3$$이다.
$A(1,7,-2)$, $B(3,5,6)$, $C(-1,6,-4)$, $D(-4,-3,k)$라 하자. 네 점이 동일 평면 위에 있다는 것은 세 벡터 $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$가 동일한 평면에 있다는 것과 동치이다. 따라서 $$(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} ) \cdot \overrightarrow{AD} =0$$이면 된다.
$$(\lt 2,-2,8 \gt \times \lt -2,-1,-2 \gt) \cdot \lt -5,-10,k+2 \gt=-6k+48=0$$에서 $k=8$이다.
$t=2$를 대입하여 직선 $L_1$ 위의 임의의 한 점 $A(0,7,6)$을 구한다. 두 직선 사이의 거리는 직선 $L_2$와 점 $A$와의 거리와 같다.
첫 번째 방법: $A(0,7,6)$와 직선 $L_2$ 위에 있는 임의의 점 사이의 거리는 $$\sqrt{(-3s)^2+(6+6s)^2+(2+3s)^2}$$이니 $s=-\dfrac{7}{9}$에서 최소이다. 따라서 점 $A$와 직선 $L_2$ 사이의 거리는 $$\sqrt{66} \over 3$$이다.
두 번째 방법: $s=0$을 대입하여 직선 $L_2$ 위의 점 $B(0,1,4)$를 얻는다. 또한 직선 $L_1$의 방향 벡터는 $\textbf{v}=\lt -1,2,1 \gt$이다. 두 직선 사이의 거리 $$d=|\overrightarrow{AB}|\sin{\theta}={|\overrightarrow{AB} \times \textbf{v}| \over |\textbf{v}|}$$이므로($\theta$는 $\overrightarrow{AB}$와 $L_1$ 사이의 각도) 구하는 거리 $$d={|\lt 0,-6,-2 \gt \times \lt -1,2,1 \gt| \over |\lt -1,2,1 \gt|}={\sqrt{66} \over 3}$$이다.
Quadratic surface를 $z=k$ 평면으로 자른 단면이 쌍곡선(Hyperbola)이므로 Quadratic surface의 방정식에 $z=k$를 대입하자. 그러면 주어진 방정식은 $$Ax^2+By^2=-k$$가 된다.
쌍곡선의 방정식은 $${x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2}=1$$ 꼴이므로 주어진 방정식을 쌍곡선의 방정식 꼴로 만들기 위해서는 $A \gt 0$, $B \lt 0$ 혹은 $A \lt 0$, $B \gt 0$이 되어야 한다. 따라서 $AB$의 부호는 음수이다.