메인 페이지로 돌아가기
두 식을 연립하면 $y^2+z^2=4$를 얻는다. 이는 두 곡면의 교선을 $yz$평면에 정사영한 식이다. 따라서 이 범위를 $D$라 하고 적분 식을 세우면 $$\iint_D \left|\left(4-{z^2\over4}-y^2\right)-\left(-1+z^2+{y^2\over4}\right)\right| dA=\iint_D 5-{5\over4}y^2-{5\over4}z^2 dA$$이고 극좌표로 변환하면 $$\int_0^{2\pi} \int_0^2 5-{5\over4}r^2 dr d\theta={40\over3}\pi$$이다.
주어진 영역 $E$는 $$E=\{ (x,y,z) \mid -2\leq x\leq 2,-\sqrt{4-x^2}\leq y\leq\sqrt{4-x^2},x^2+y^2\leq z\leq4 \}$$이다. 따라서 주어진 적분은 $$\int_{-2}^2 \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \int_{x^2+y^2}^4 z dzdydx=\int_{-2}^2 \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \left[ 8-{1\over2}(x^2+y^2)^2 \right] dydx=\int_0^{2\pi} \int_0^2 \left( 8-{1\over2}r^4 \right) rdrd\theta={64\over3}\pi$$이다.
주어진 영역을 구좌표계로 나타내면 $$E=\{ (\rho, \theta, \phi) \mid 0\leq\rho\leq 4\cos{\phi},0\leq\theta\leq\pi, 0\leq\phi\leq\pi/4 \}$$이므로 주어진 적분은 $$\int_0^{\pi/4} \int_0^{\pi} \int_0^{4\cos{\phi}} {\rho \cos{\phi}\over \rho^2} \cdot \rho^2\sin{\phi} d\rho d\theta d\phi=\int_0^{\pi/4} \int_0^{\pi} \left[ {\rho^2\over4}\sin{2\phi}\right]_0^{4\cos{\phi}} d\theta d\phi=\int_0^{\pi/4} 8\pi \sin{\phi}\cos^3{\phi} d\phi$$이다.
$\cos{\phi}=u$의 치환을 하면 $-\sin{\phi}d\phi=du$이니 $$\int_0^{\pi/4} 8\pi \sin{\phi}\cos^3{\phi} d\phi=8\pi \int_{\sqrt{2}/2}^1 u^3 du={3\over2}\pi$$이다.
곡선 $C_1$을 매개변수화하면 $$\textbf{r}(t)=\langle t,\pi/3 \rangle \enspace (0\leq t \leq \pi)$$이다. 따라서 $$\int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r}=\int_0^{\pi} \textbf{F}(\textbf{r}(t))\cdot \textbf{r}'(t) dt=\int_0^{\pi} \left\langle {1\over2}\sin{t},e^{\pi/3\cdot t} \right\rangle\cdot \langle 1,0 \rangle dt={1\over2}\int_0^{\pi} \sin{t} dt=1$$이다.
곡선 $C_2$를 매개변수화하면 $$\textbf{r}(t)=\langle 2,t \rangle \enspace (0\leq t \leq 1)$$이다. 따라서 $$\int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r}=\int_0^1 \textbf{F}(\textbf{r}(t))\cdot \textbf{r}'(t) dt=\int_0^1 \langle \sin{2}\cos{t},e^{2t}\rangle \cdot \langle 0,1 \rangle dt=\int_0^1 e^{2t} dt={1\over2}(e^2-1)$$이다.
주어진 영역 $D$를 $r$과 $\theta$에 대한 식으로 나타내면 $$D=\begin{cases} x=\cfrac{r}{3}\cos{\theta} \\ y=\cfrac{r}{2}\sin{\theta} \end{cases} \quad(0\leq r\leq 1, 0\leq\theta\leq \pi/2)$$이다. 야코비안은 $${\partial(x,y)\over\partial(r,\theta)}=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial x}{\partial r} & \cfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \cfrac{\partial y}{\partial r} & \cfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cfrac{\cos{\theta}}{3} & -\cfrac{r}{3}\sin{\theta} \\ \cfrac{\sin{\theta}}{2} & \cfrac{r}{2}\cos{\theta} \end{vmatrix}={r\over6}$$이니 주어진 적분은 $$\int_0^{\pi/2} \int_0^1 \cos{1} \cdot {r\over6} drd\theta={1\over12}\int_0^{\pi/2} \cos{1} dr={\pi\over24}\cos{1}$$이다.
$\textbf{F}$의 $x$성분을 $x$에 대해 적분하면 $x^3yz-3yx+g(y,z)$이다. 다른 성분에 대해서도 동일한 적분을 하면 각각 $(x^3z-3x)y+h(x,z)$, $x^3yz+z^2+i(x,y)$이니 구하는 퍼텐셜 함수 $f$는 $$f(x,y,z)=x^3yz-3xy+z^2$$이다.
주어진 직선 $C$를 매개변수화하면 $$\textbf{r}(t)=\langle 0,3t,2(1-t) \rangle(0\leq t \leq 1)$$이다. 따라서 선적분의 기본정리에 의해 $$\int_C \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=f(\textbf{r}(1))-f(\textbf{r}(0))=f(0,3,0)-f(0,0,2)=-4$$이다.
주어진 곡선 $C$로 둘러싸인 영역을 $D$라 하고 영역 $D$를 $r$과 $t$로 나타내면 $$D=\begin{cases} x=r\cos^3{t} \\ y=r\sin^3{t} \end{cases} \quad (0\leq r\leq 1, 0\leq \theta \leq 2\pi)$$이다. 넓이는 $$\iint_D dA$$이고 야코비안은 $${\partial(x,y)\over\partial(r,t)}=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial x}{\partial r} & \cfrac{\partial x}{\partial t} \\ \cfrac{\partial y}{\partial r} & \cfrac{\partial y}{\partial t} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \cos^3{t} & -3r\cos^2{t}\sin{t} \\ \sin^3{t} & 3r\sin^2{t}\cos{t} \end{vmatrix}={3r\over4}\sin^2{2t}$$이니 넓이는 $$\iint_D dA=\int_0^{2\pi} \int_0^1 {3r\over4}\sin^2{2t} dr dt={3\over8}\int_0^{2\pi} \sin^2{2t} dt={3\over8}\pi$$이다.
주어진 곡선 $C$로 둘러싸인 영역을 $D$라 하자. $F$가 한 일은 $$\int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r}$$이고 이는 그린 정리에 의해 $$\int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r}=\iint_D 3+{1\over 1+y^2}-{1\over 1+y^2} dA={9\over8}\pi$$이다.
선적분 값이 경로에 무관하려면 $\textbf{F}$가 보존벡터장이면 된다. $$\operatorname{curl}\textbf{F}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\ 2x-y+az & bx+y-3z & x-cy+5z\end{vmatrix}=(-c+3)\textbf{i}+(1-a)\textbf{j}+(b+1)\textbf{k}=0$$이려면 $a=1$, $b=-1$, $c=3$이면 된다.
또한 $$\operatorname{div}\textbf{F}=2+1+5=8$$이다.
주어진 surface는 $$\textbf{r}(\phi,\theta)=\langle \sin{\phi}\cos{\theta}, \sin{\phi}\sin{\theta}, \cos{\phi} \rangle \quad (\cos^{-1}{\sin{\theta}}\leq\phi\leq\pi/2,0\leq\theta\leq\pi)$$이므로 $$|\textbf{r}_{\phi}\times\textbf{r}_{\theta}|=|\langle \sin^2{\phi}\cos{\theta}, -\sin^2{\phi}\sin{\theta},\sin{\phi}\cos{\phi} \rangle|=|\sin{\phi}|$$이다.
따라서 넓이는 $$\iint_D |\sin{\phi}| dA=\int_0^{\pi} \int_{\cos^{-1}{\sin{\theta}}}^{\pi/2} |\sin{\phi}| d\phi d\theta=\int_0^{\pi} [-\cos{\phi}]_{\phi=\cos^{-1}{\sin{\theta}}}^{\phi=\pi/2} d\theta=\int_0^\pi \sin{\theta} d\theta=2$$이다.
발산 정리에 의해 $$\iint_S \textbf{F}\cdot\textbf{n} dS=\iiint_E \operatorname{div}\textbf{F} dV=\iiint_E 3 dV=3V(E)$$이다. 주어진 사면체의 부피는 $1/6$이므로 주어진 적분은 $${1\over2}$$이다.
$C$로 둘러싸인 표면을 $S$라 하면 스토크스 정리에 의해 $$\int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r}=\iint_S \operatorname{curl}\textbf{F}d\textbf{S}=\iint_S \operatorname{curl}\textbf{F}\cdot (\textbf{r}_x \times \textbf{r}_y)dS$$이고 $$\operatorname{curl}\textbf{F}=\langle x,y,-2z\rangle,\textbf{r}_x \times \textbf{r}_y=\langle 2x,2y,1 \rangle$$이다. 따라서 주어진 적분은 $$\iint_D 4(x^2+y^2)-2 dA=\int_0^{\pi/2} \int_0^1 (4r^2-2)r drd\theta=\int_0^{\pi/2} [r^4-r^2]_{r=0}^{r=1} d\theta=0$$이다.
Flux는 $$\iint_S \textbf{F}\cdot\textbf{n} dS$$이고 이는 발산 정리에 의해 $$\iint_S \textbf{F}\cdot\textbf{n} dS=\iiint_E \operatorname{div}\textbf{F} dV$$이다. $\operatorname{div}\textbf{F}=x^2$이니 주어진 적분은 $$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \int_0^{2-x-y^3} x^2 dzdydx=\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 x^2(2-x-y^3) dydx=\int_{-1}^1 \left[ (2x^2-x^3)y-{x^2y^2\over4} \right]_{y=-1}^{y=1} dx=\int_{-1}^1 4x^2-2x^3 dx ={8\over3}$$이다.