메인 페이지로 돌아가기

문제 4 (1)

$$a_n=\sin^2{\dfrac{\pi}{n}}$$라고 하자. $n \to \infty$일 때 $a_n \to 0$이므로 Divergence Test는 실패한다.

$x \gt 0$이면 $0 \lt \sin{x} \lt x$가 성립하므로 $$0 \lt \sin^2{\dfrac{\pi}{n}} \lt \left(\dfrac{\pi}{n}\right) ^2$$이다. $\sum \left(\dfrac{\pi}{n}\right) ^2$는 p-급수 판정법에 의해 수렴하므로 비교판정법에 의해 이 급수도 수렴한다.

※ $\left|\sin^2{\dfrac{\pi}{n}}\right|=\sin^2{\dfrac{\pi}{n}}$ 이므로 이 급수는 절대수렴한다.

(2)

$$a_n= \dfrac{n}{(n+1)!}$$라고 하자. $a_n$에 팩토리얼이 있으므로 Ratio Test를 적용한다. $$\lim_{n \to \infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n \to \infty}\left| \dfrac{n+1}{(n+2)!} \cdot \dfrac{(n+1)!}{n} \right|=0 \lt 1$$이므로 Ratio Test에 의해 이 급수는 절대수렴한다.

(3)

$$a_n=\left\{ \left( 1+\dfrac{3}{n}\right)^{4n} \right\}e^{-2n}$$라고 하자. $$\lim_{n \to \infty} \left( 1+\dfrac{3}{n}\right)^{4n}=e^{12}$$이니 비교판정법을 적용하면 $$0 \lt \dfrac{\left( 1+\dfrac{3}{n}\right)^{4n}}{e^{2n}} \leq \dfrac{e^{12}}{e^{2n}}$$이고 $\sum \dfrac{e^{12}}{e^{2n}}$은 $|r|=\dfrac{1}{e^2} \lt 1$인 무한등비급수이므로 수렴한다.

따라서 주어진 급수도 비교판정법에 의해 수렴한다.

(4)

$$a_n=\left( \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1}\right)^{n\sqrt{n}}$$라고 하자. 지수에 n이 있으니 Root Test를 하면 $$\lim_{n \to \infty} \left|\dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1}\right|^{\sqrt{n}} =\lim_{n \to \infty} \left|1-\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}\right|^{\sqrt{n}}=e^{-1} \lt 1$$이므로 이 급수는 절대수렴한다.

문제 5

$$a_n={(-1)^{n-1} \over n 2^n}(x-2)^n$$라고 하자. Ratio Test를 적용하면 $$\lim_{n \to \infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n \to \infty}\left| {(-1)^{n}(x-2)^{n+1} \over (n+1) 2^{n+1}} {n 2^n \over (-1)^{n-1} (x-2)^n} \right|={1 \over 2}|x-2|$$이므로 $$\dfrac{1}{2}|x-2| \lt 1 \Leftrightarrow |x-2|\lt 2$$이면 이 급수는 수렴한다.

이제 $|x-2|=2$인 경우를 살펴보자. $x=0$이면 주어진 급수는 $\sum \dfrac{(-1)^{2n-1}}{n}=\sum \dfrac{-1}{n}$이 되어 p-급수 판정법에 의해 발산한다.

$x=4$이면 주어진 급수는 $\sum \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$이다. 이는 교대급수판정법에 의하여 수렴한다.

따라서 수렴반경은 $R=2$, 수렴구간은 $0 \lt x \leq 4$이다.

문제 7 (1)

$\tan^{-1}{x}$의 맥클로린 급수를 구한 후 $x$에 $x^3$을 대입하면 $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \dfrac{x^{6n+3}}{2n+1}$$이다.

(2)

$$f(x)=x^3-{x^9 \over 3}+{x^{15} \over 5}-{x^{21} \over 7} \cdots$$이니 $$f^{(15)}(x)={15! \over 5}-{21 \cdot 20 \cdots 8 \cdot 7 x^6 \over 7} \cdots$$이다. 그러므로 $$f^{(15)}(0)={15! \over 5}$$이다.