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곡선 $C$의 양변을 $x$에 대해 미분하면 $$2x+2y{dy\over dx}+y+x{dy\over dx}=0$$이다. 따라서 $${dy\over dx}=-{2x+y \over x+2y}$$이다.
Horizontal 접선은 기울기가 0이므로 $2x+y=0$이고 $x+2y \neq 0$이다. 첫 번째 식에서 $y=-2x$를 얻어 곡선 $C$에 대입하면 $x=\pm 3$을 얻는다. 이때 $y=\mp 6$이다.
Vertical 접선은 기울기가 무한대로 발산하므로 $x+2y=0$이고 $2x+y \neq 0$이다. 첫 번째 식에서 $x=-2y$를 얻어 곡선 $C$에 대입하면 $y=\pm 3$을 얻는다. 이때 $x=\mp 6$이다.
따라서 Horizontal 접선이 있는 점은 $(3,-6),(-3,6)$이고 Vertical 접선이 있는 점은 $(6,-3),(-6,3)$이다.
※ Desmos 그래프 페이지에서 문제에 주어진 함수의 그래프를 확인할 수 있다.
선형 근사 $(1+x)^n \sim 1+nx$를 사용하자. $x=-\dfrac{1}{2024}$이고 $n=1012$이니 근삿값은 $$1-{1\over2024}\cdot 1012={1\over2}$$이다.
※ 참값은 약 0.606이다.
정의에 따라 계산을 하면 $$f(2)=\tanh{\ln{2}}+\cosh{\ln{4}}={2-{1\over2} \over 2+{1\over2}}+ {4+{1\over4} \over 2}={109\over40}$$이다. 따라서 $p+q=149$이다.
$$y=(x^2+\tan^{-1}{x})^{1\over\ln{x}}$$라 놓자. $$\ln{y}={\ln{(x^2+\tan^{-1}{x})} \over \ln{x}}$$이므로 $$\lim_{x \to 0^+} \ln{y}=\lim_{x \to 0^+} {\ln{(x^2+\tan^{-1}{x})} \over \ln{x}}\overset{LH}{=}\lim_{x \to 0^+}{2x+{1\over x^2+1} \over {1\over x}}\cdot{1\over x^2+\tan^{-1}{x}}$$이고 $$\lim_{x \to 0^+}{\tan^{-1}{x}\over x}\overset{LH}{=}\lim_{x \to 0^+}{1\over x^2+1}=1$$이므로 $\lim_{x \to 0^+} \ln{y}=1$이다. 따라서 구하는 극한은 $$\lim_{x \to 0^+} y=e$$이다.
조건에 의해 $F'(0)=\ln{a}$이고 $F(0)=b$이다. $b=0$임은 쉽게 알 수 있다. $$F'(x)=\sinh^{-1}{(4\tan^2{x}+1)}\cdot 2\sec^2{x}-\sinh^{-1}{(x^2+1)}$$이니 $$F'(0)=\sinh^{-1}{1}=\ln{(1+\sqrt{2})}=\ln{a}$$이다. 따라서 $a=1+\sqrt{2}$이니 $a+b=1+\sqrt{2}$이다.
$f(x)=x^3-3x+1$라고 두자. $$x_{n+1}=x_n-{f(x_n)\over f'(x_n)}$$이니 $x_1=0$부터 차례대로 대입하면 $$x_2=0-{1\over-3}={1\over3}$$$$x_3={1\over3}-{1/27\over -8/3}={25\over72}$$이다.
주어진 식을 $\sum$를 이용하여 간단히 하면 $$\lim_{n \to \infty} {\sum_{k=1}^{2n} (n+k)^4\over \sum_{k=1}^n k^4}$$이다. 분자와 분모를 $n^4$로 나누고 $\dfrac{1}{n}$을 곱하자.
$$\lim_{n \to \infty} {\sum_{k=1}^{2n} (1+k/n)^4 {1\over n}\over \sum_{k=1}^n (k/n)^4{1\over n}}$$극한을 위아래로 분배하면 구분구적법 꼴이 된다. 주어진 극한은 $${\int_1^3 x^4 dx \over \int_0^1 x^4 dx}=242$$이다.
$$f'(x)=\sqrt{1+(\ln{x})^2}\cdot {1\over x}$$이고 $$g'(y)=f(y)$$이니 $$g''(y)=f'(y)=\sqrt{1+(\ln{y})^2}\cdot {1\over y}$$이다. 따라서 $$g''(\sqrt{e})=f'(\sqrt{e})=\sqrt{5\over4}\cdot{1\over \sqrt{e}}$$이다.
루트 안을 완전제곱식 꼴로 만들면 $$\int {1\over\sqrt{(3x+1)^2+2^2}}dx$$이다. $3x+1=2\tan{u}$로 치환하면 $3dx=2\sec^2{u}du$이니 주어진 적분은 $${1\over3}\int {2\sec^2{u} du \over 2\sec{u}}={1\over3}\ln{|\sec{u}+\tan{u}|}+C$$이다.
$\tan{u}=\dfrac{3x+1}{2}$이므로 $\sec{u}=\dfrac{\sqrt{9x^2+4x+5}}{2}$이다. 따라서 정답은 $${1\over3}\ln{\left|{(3x+1)+\sqrt{9x^2+4x+5} \over 2}\right|}+C$$이다.
부분적분을 하면 $$\left[ {x^3\over3} \tan^{-1}{x} \right]_0^1-\int_0^1 {x^3\over3}\cdot {1\over x^2+1} dx$$이고 $$\int {x^3\over x^2+1} dx$$는 $x^2+1=u$의 치환을 하면 계산할 수 있다. $2xdx=du$이므로 이 적분은 $$\int {u-1\over 2u} du={1\over2}(u-\ln{u})+C$$이니 주어진 적분은 $$\left[ {x^3\over3} \tan^{-1}{x} \right]_0^1 - {1\over3}\left[ {1\over2}(u-\ln{u}) \right]_1^2={\pi\over12}+{\ln{2}\over6}-{1\over6}$$이다.
$x=0$일 때 피적분함수가 정의되지 않으므로 이 적분은 이상적분이다. 우선 $$\int {\ln{x}\over \sqrt{x}} dx$$를 계산한다. $\sqrt{x}=u$로 치환하자. 그러면 $dx=2udu$이고 $\ln{x}=2\ln{u}$이다. 주어진 적분은 $$4\int \ln{u} du=4(u\ln{u}-u)+C=2\sqrt{x}\ln{x}-4\sqrt{x}+C$$이다. $$\lim_{t \to 0^+} \int_t^4 {\ln{x}\over \sqrt{x}} dx=\lim_{t \to 0^+} (4\ln{4}-8-2\sqrt{t}\ln{t}+4\sqrt{t})$$이고 $$\lim_{t \to 0^+} \sqrt{t}\ln{t}=\lim_{t \to 0^+} {\ln{t}\over t^{-1/2}}\overset{LH}{=}\lim_{t \to 0^+}{1/t\over -1/2 \cdot t^{-3/2}}=0$$이므로 $$\lim_{t \to 0^+} (4\ln{4}-8-2\sqrt{t}\ln{t}+4\sqrt{t})=4\ln{4}-8$$이다. 따라서 이 적분은 수렴하고 값은 $4\ln{4}-8$이다.
임의의 높이 $h=a \enspace (0\leq a\leq 10)$에서의 단면의 넓이를 구하자. 그릇 단면의 반지름을 $r_2$라고 하면 피타고라스에 의해 $r_2^2=30a-a^2$이다. 동일하게 철 공의 반지름을 $r_1$라고 하면 $r_1^2=10a-a^2$이다. 따라서 단면의 넓이는 $$\pi(r_2^2-r_1^2)=20a\pi$$이다. 부피를 구하기 위해 적분하면 $$\int_0^h 20a\pi da=10h^2\pi \mathrm{cm}^3$$이다.
$y=2-x^2$과 $y=x$의 교점은 $x=-2$와 $x=1$에 있다. Shell 방식으로 적분을 하자. 반지름은 $4-x$, 높이는 $(-x^2+2)-x$이니 적분 식을 세우고 계산을 하면 $$\int_{-2}^1 2\pi(4-x)(-x^2+2-x) dx={61\over3}$$이다.