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적분 영역 $D$는 $$D=\{ (x,y) \mid -2\leq x \leq 2, 0 \leq y \leq \sqrt{4-x^2} \}$$이므로 극좌표계로 변환하면 $$D=\{ (r,\theta) \mid 0\leq r\leq 2, 0\leq\theta\leq\pi \}$$이다.
따라서 주어진 적분은 $$\int_0^\pi \int_0^2 \sin{r^2} \cdot r drd\theta=\pi\left[ -{1\over2}\cos{r^2} \right]_0^2={\pi\over2}(1-\cos{4})$$이다.
주어진 식은 $x^2+y^2+z^2=3x$로 표현할 수 있으므로 이를 구좌표계로 변환하면 $$\rho^2=3\rho\sin{\phi}\cos{\theta} \\ \rho=3\sin{\phi}\cos{\theta}$$이다.
곡선 $C$를 매개화하면 $$\textbf{r}(t)=\langle t,2t \rangle \enspace (0 \leq t \leq 1)$$이므로 주어진 적분은 $$\int_0^1 (t+10t)dt+4t^2dt=\left[ {11t^2\over 2}+{4t^3\over3} \right]_0^1={41\over6}$$이다.
$$\operatorname{curl} \textbf{F}=\nabla \times \textbf{F} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\ x^2+yz & y^2+xz & z^2+xy\end{vmatrix}=\textbf{0}$$이다.
$$\operatorname{div} \textbf{F}=\nabla \cdot \textbf{F}={\partial\over\partial x} \log{(x^2yz)}+{\partial\over\partial y} \log{(xy^2z)}+{\partial\over\partial z} \log{(xyz^2)}\\={2xyz\over x^2yz}+{2xyz\over xy^2z}+{2xyz\over xyz^2}={2\over x}+{2\over y}+{2\over z}$$이다.
가장 안쪽에 있는 적분을 계산하면 $$\int_{-3}^3 \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} 4-y dydx$$가 된다. 따라서 이 적분은 극좌표계로 변환하면 $$\int_0^{2\pi} \int_0^3 (4-r\sin{\theta})rdrd\theta \\=\int_0^{2\pi} \left[2r^2-\sin{\theta}{r^3\over3}\right]_{r=0}^{r=3} d\theta=\int_0^{2\pi} 18-9\sin{\theta}d\theta=36\pi$$이다.
적분 식을 세우면 $$\int_D \sqrt{16-x^2-y^2}-1 dA \\ D=\{ x^2+y^2\leq 4 \mid x\geq 0, y\geq 0 \}$$이므로 극좌표계로 변환하면 $$\int_0^{\pi/2} \int_0^2 (\sqrt{16-r^2}-1)rdrd\theta={\pi\over2}$$
※ First octant는 $x\geq 0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$인 좌표공간의 부분이다.
주어진 영역 $E$를 구하자. $x^2+y^2+z^2=4z$를 구좌표계로 바꾸면 $\rho=4\cos{\phi}$이고 $z=3$을 구좌표계로 바꾸면 $\rho=3\sec{\phi}$이다.
따라서 $$E=\{ (\rho,\phi,\theta) \mid 3\sec{\phi} \leq \rho\leq 4\cos{\phi}, 0\leq\phi\leq\pi/6, 0\leq\theta\leq 2\pi \}$$이다. 주어진 적분을 구좌표계로 바꾸면 $$\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/6} \int_{3\sec{\phi}}^{4\cos{\phi}} \rho \cdot \rho^2 \sin{\phi}d\rho d\phi d\theta=\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/6} \left[ {\rho^4\over 4} \sin{\phi} \right]_{\rho=3\sec{\phi}}^{\rho=4\cos{\phi}} d\phi d\theta=\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/6} {1\over4} \left( 256\cos^4{\phi}\sin{\phi}-81\sec^4{\phi}\sin{\phi} \right) d\phi d\theta$$이다.
첫 번째 부분은 $\cos{\phi}=u$의 치환을 하면 $$\int \cos^4{\phi}\sin{\phi} d\phi=\int -u^4 du=-{u^5\over5}+C=-{\cos^5{\phi}\over5}+C$$이고 두 번째 부분은 $\sec{\phi}=u$의 치환을 하면 $$\int \sec^4{\phi}\sin{\phi} d\phi=\int \sec^2{\phi} \cdot \tan{\phi}\sec{\phi} d\phi=\int u^2 du={u^3\over3}+C={\sec^3{\phi}\over3}+C$$이다.
따라서 주어진 적분은 $$2\pi \left[ -{64\over5}\cos^5{\phi}-{27\over4}\sec^3{\phi} \right]_0^{\pi/6}=2\pi\left[ -{64\over5}\left( {9\sqrt{3}\over32}-1 \right)-{27\over4}\left( {8\over3\sqrt{3}}-1 \right) \right]=\left({391\over10}-{96\sqrt{3}\over5}\right)\pi$$이다.
※ 시험장에서 정답을 쓸 때에는 맨 마지막 결과까지 간략화하지 않아도 충분하다.
$\textbf{F}=\langle e^x\cos{y}+yz,xz-e^x\sin{y},xy+z \rangle$라 하면 $$\operatorname{curl} \textbf{F}=\nabla \times \textbf{F} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\ e^x\cos{y}+yz & xz-e^x\sin{y} & xy+z\end{vmatrix}=\textbf{0}$$이므로 $\textbf{F}$는 보존장이다. 따라서 선적분의 기본정리를 사용할 수 있다.
퍼텐셜 함수를 구하면 $$f(x,y,z)=e^x\cos{y}+xyz+{z^2\over2}+C$$이므로 $$\int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r}=f(\textbf{r}(2\pi))-f(\textbf{r}(0))=2\pi^2$$이다.
그린 정리에 의하여 $${2x\over (x^2+y^2)^2}={\partial Q\over\partial x}-{\partial P\over\partial y}$$이다. 편적분을 하면 $$\int {2x\over (x^2+y^2)^2} dx=-{1\over x^2+y^2}+C$$이니 $P=0$, $Q=-{1\over x^2+y^2}$으로 놓을 수 있다. 그러면 주어진 이중적분은 $$\int_C Q dy=\int_C -{1\over x^2+y^2} dy$$가 되고 곡선 $\partial D=C$를 매개화하면 $$C=C_1 \cup C_2 \\ C_1=\langle 1,t \rangle \enspace (-1\leq t\leq 1) \\ C_2=\langle \cos{t}, \sin{t} \rangle \enspace (-\pi/4\leq t\leq \pi/4)$$이므로 $$\int_{C_1} -{1\over x^2+y^2} dy=\int_{-1}^1 -{1\over 1+t^2} dt=[-\tan^{-1}{t}]_{-1}^1=-{\pi\over2}$$이고 $$\int_{C_2} -{1\over x^2+y^2} dy=\int_{-\pi/4}^{\pi/4} -\cos{t} dt=[-\sin{t}]_{-\pi/4}^{\pi/4}=-\sqrt{2}$$이다. 따라서 주어진 적분은 $$-{\pi\over2}-\sqrt{2}$$이다.
구하는 표면은 $x$축, $y$축, $z$축에 대칭이므로 $x\geq 0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$인 부분에서 넓이를 구하고 $8$을 곱하자.
그러면 해당 표면(구하는 표면의 $1/8$)은 $$z=\sqrt{1-x^2-y^2} \enspace (x^2+4y^2 \leq 1, x\geq 0, y\geq 0)$$이다. 따라서 이 표면의 넓이 $A$는 $$A=\iint_D \sqrt{1+\left(\partial z\over\partial x\right)^2+\left(\partial z\over\partial y\right)^2} dA=\iint_D {1\over\sqrt{1-x^2-y^2}} dA$$에서 $$D=\left\{ (x,y) \mid 0\leq x \leq 1, 0\leq y \leq \sqrt{{1-x^2\over4}} \right\}$$이므로 구하는 넓이는 $$\int_0^1 \int_0^{\sqrt{(1-x^2)/4}} {1\over\sqrt{1-x^2-y^2}} dydx=\int_0^1 \left[ \sin^{-1}{\left( {y\over\sqrt{1-x^2}} \right)} \right]_{y=0}^{y=\sqrt{(1-x^2)/4}} dx=\int_0^1 \sin^{-1}{1\over2} dx={\pi\over6}$$이다. 따라서 구하는 표면의 넓이는 $$8\cdot {\pi\over6}={4\pi\over3}$$이다.
면적분을 하여 유량(Flux)를 구하자. $$\textbf{r}_u=\langle 1,1,2\rangle \enspace \textbf{r}_v=\langle 1,-1,1\rangle \\ \textbf{r}_u \times \textbf{r}_v=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=\langle 3,1,-2\rangle$$이고 이 표면은 oriented upward이므로 $\langle -3,-1,2\rangle$을 표면의 법선 벡터로 사용한다.
따라서 구하는 유량은 $$\iint_S \textbf{F} \cdot d\textbf{S}=\iint_D \textbf{F} \cdot \langle -3,-1,2\rangle dA=\int_0^1 \int_0^2 2xy dudv=\int_0^1 \int_0^2 2(u^2-v^2) dudv=\int_0^1 \left[ {2u^3\over3}-2v^2u \right]_{u=0}^{u=2} dv=\int_0^1 {16\over3}-4v^2 dv=\left[ {16\over3}v-{4v^3\over3} \right]_0^1=4$$이다.
스토크스 정리를 활용하자. $$\operatorname{curl} \textbf{F}=\nabla \times \textbf{F} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\ e^x\sin^3{x} & x+yz & xy+\sinh{z}\end{vmatrix}=\langle x-y,-y,1 \rangle$$이고 $\partial S=C$인 간단한 $S$를 구하자.
$S$를 $C$가 있는 평면으로 두자. $C$가 있는 평면은 $x^2+y^2=1$과 $z=(x+1)^2+(y-1)^2$을 연립하면 $z=2x-2y+3$이다. 따라서 구하는 간단한 $S$는 $C$로 둘러싸인 평면이므로 $$\textbf{r}(x, y)=\langle x, y, 2x-2y+3 \rangle \enspace (x^2+y^2 \leq 1)$$이다. 따라서 $$\textbf{r}_x \times \textbf{r}_y=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2\end{vmatrix}=\langle -2,2,1 \rangle$$이고 $C$는 위에서 봤을 때 반시계방향이므로 법선 벡터의 방향은 위쪽 방향이다. $1 \leq 0$이므로 이 법선 벡터를 그대로 사용하자.
따라서 구하는 적분은 $$\iint_S \operatorname{curl}\textbf{F} \cdot d\textbf{S}=\iint_D \langle x-y,-y,1\rangle \cdot \langle -2, 2, 1 \rangle dA=\iint_D -2x+1 dA \enspace (D=\{ (x,y) \mid x^2+y^2 \leq 1\})$$이고 대칭성에 의하여 $$\iint_D x dA=0$$이므로 $$\iint_D -2x+1 dA=\iint_D dA=\pi$$이다.
※ $S$의 매개화로 다음과 같은 방법을 이용할 수도 있다. $$\textbf{r}(u, v)=\langle u\cos{v},u\sin{v},2u\cos{v}-2u\sin{v}+3 \rangle \enspace (0\leq u \leq 1, 0\leq v\leq 2\pi)$$이면 $$\textbf{r}_u \times \textbf{r}_v=\langle -2u, 2u, u \rangle$$이므로 구하는 적분은 $$\iint_S \operatorname{curl}\textbf{F} \cdot d\textbf{S}=\iint_D \langle x-y,-y,1\rangle \cdot \langle -2u, 2u, u \rangle dA=\iint_D \langle u\cos{v}-u\sin{v},-u\sin{v},1\rangle \cdot \langle -2u, 2u, u \rangle dA=\int_0^{2\pi} \int_0^1 -2u^2\cos{v}+u dudv=\int_0^{2\pi} \left[ -{2u^3\over3}\cos{v}+{u^2\over2} \right]_{u=0}^{u=1} dv=\int_0^{2\pi} -{2\over3}\cos{v}+{1\over2} dv=\pi$$이다.