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곡률을 구해야 하는 점을 $A$라 하면 $A$에서 Binormal vector의 방향은 $\langle 0,-3,1 \rangle$이다.
제약조건은 $g(x,y)=x^2+y^2-4=0$, $x \geq 0$, $y \geq 0$이다.
$\nabla f=\lambda\nabla$인 $x,y$를 찾자. 방정식을 세우면 $$\begin{cases} 4x^3-4y=\lambda 2x \\ 4y^3-4x=\lambda 2y \\ x^2+y^2-4=0 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$이다. 첫 번째 식과 두 번째 식을 정리하면 $$xy(x^2-y^2)=-x^2+y^2$$을 얻으므로 $xy=-1$ 또는 $x^2-y^2=0$이다. $x$와 $y$의 부호는 모두 양수이므로 $xy=-1$일 수는 없고, $x^2-y^2=0$에서는 $x=y$를 얻는다. 이것을 세 번째 식에 대입하면 $x=y=\sqrt{2}$를 얻는다. 따라서 임계점은 $f(\sqrt{2},\sqrt{2})=0$이다.
위에서 살펴본 영역 $D$의 부분은 $x^2+y^2=4 \enspace (x \geq 0, y \geq 0)$이다. 나머지 부분도 살펴보자.
$x=0 \enspace (0 \leq y \leq 2)$에서는 $f(x,y)=y^4$이므로 최댓값은 $16$, 최솟값은 $0$이다. 마찬가지로 $y=0 \enspace (0 \leq x \leq 2)$에서도 최댓값은 $16$, 최솟값은 $0$이다.
마지막으로 영역의 내부를 살펴보자. $f_x=4x^3-4y=0$과 $f_y=4y^3-4x=0$에서 $x^9-x=0$이므로 $x=\pm 1$ 또는 $x=0$이다. 이 중 영역의 내부에 포함되는 점은 $(1,1)$이고 $f(1,1)=-2$이다.
따라서 최댓값은 $16$, 최솟값은 $-2$이다.
제약조건은 $g(x,y,z)=x+y+z=2$, $h(x,y,z)=xz=1$이다.
$\nabla f=\lambda\nabla g+\mu\nabla h$인 $x,y,z$를 찾자. 방정식을 세우면 $$\begin{cases} 2x=\lambda +\mu z \\ 2y=\lambda \\ 2z=\lambda+\mu x \\ x+y+z=2 \\ xz=1\end{cases}$$이다. 첫 번째 식에서 세 번째 식을 빼면 $2(x-z)=\mu(z-x)$이므로 $\mu=-2$ 또는 $x=z$이다.
$\mu=-2$라면 첫 번째 식과 두 번째 식에 의해 $x+z=y$이고 $y=1$이니 $x+z=1$이고 $xz=1$이다. 하지만 $x$와 $z$가 실수가 아니므로 이 경우는 성립하지 않는다.
$x=z$라면 $x=z=1$ 또는 $x=z=-1$이므로 조건을 만족하는 쌍 $(x,y,z)$는 $(1,0,1)$과 $(-1,4,-1)$이다. 따라서 임계점은 $f(1,0,1)=2$와 $f(-1,4,-1)=18$이다.
이제 이 값이 최솟값 혹은 최댓값인지 확인해 보자. 이 문제는 $x+y+z=2$와 $xz=1$의 교선 위의 점 중 원점까지의 거리의 제곱의 최솟값 혹은 최댓값을 찾는 문제와 같다. 따라서 $f(1,0,1)=2$는 최솟값이다. 원점까지의 거리의 제곱 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$의 최댓값이 존재하는지 알아보자.
$y=k$라 두면 $x+z=2-k$이고 $xz=1$이니 $x^2+z^2=(k-2)^2-2$이고 $f(x,y,z)=k^2+(k-2)^2-2$이다. 따라서 $k$의 값을 계속 키운다면 $f$의 값은 계속 증가하고 이때 $x$와 $z$는 모두 실수이니 최댓값은 존재하지 않는다.
※ $x+z=2-k$이고 $xz=1$이니 $x$와 $z$를 근 $t$로 갖는 이차방정식은 $t^2+(k-2)t+1=0$이고 두 근이 실수일 조건 $D\geq 0$은 $k \geq 4$ 또는 $k \leq 0$이다.
주어진 이중적분의 범위 $D$는 $$D=\{ (t,u) \mid 0 \leq u \leq x, 0 \leq t \leq u \}$$이다. 여기서 $m$과 $x$는 상수로 취급할 수 있다. 이 상태로는 적분할 수 없으므로 적분 순서를 바꾸면 $$D=\{ (t,u) \mid t \leq u \leq x, 0 \leq t \leq x \}$$이니 주어진 적분은 $$\int_0^x \int_t^x {e^{m(x-t)}\over x-t} du dt=\int_0^x e^{m(x-t)} dt=\left[ -{1\over m}e^{m(x-t)} \right]_{t=0}^{t=x}={e^{mx}-1\over m}$$이다.
$$\operatorname{max}(25x^2,81y^2)=\begin{cases} 25x^2 \enspace (25x^2 \geq 81y^2) \\ 81y^2 \enspace(25x^2 \lt 81y^2)\end{cases}$$이고 $25x^2 \geq 81y^2 \Leftrightarrow (5x)^2 \geq (9y)^2 \Leftrightarrow 5x \geq 9y \enspace (\because x \geq 0, y \geq 0)$이므로 적분 영역 중 $5x \geq 9y$인 영역은 $$\left\{ (x,y) \mid 0 \leq x \leq 9, 0 \leq y \leq {5\over 9}x \right\}$$이다. 동일하게 적분 영역 중 $5x \leq 9y$인 영역은 $$\left\{ (x,y) \mid 0 \leq x \leq {9\over5}y, 0 \leq y \leq 5 \right\}$$이므로 주어진 적분은 $$\int_0^9 \int_0^{5x/9} e^{25x^2} dy dx+\int_0^9 \int_0^{9y/5} e^{81y^2} dx dy$$이다.($e^{25x^2}$는 $x$로 먼저 적분할 수 없고 $e^{81y^2}$는 $y$로 먼저 적분할 수 없으므로 적당히 적분 순서를 바꾸어야 한다.)
계산을 하면 $$\int_0^9 {5\over 9}x e^{25x^2} dx+\int_0^9 {9\over5}y e^{81y^2} dy=\left[ {1\over90}e^{25x^2} \right]_0^9+\left[ {1\over90}e^{81y^2} \right]_0^5={1\over45} e^{2025}-{1\over45}$$이다.