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아래 문제들은 한양대 자원환경공학과 장종학 씨가 만드신 미분적분학2 자작 문제입니다. 한양대 에브리타임에 "미분적분학2 기말 자작 문제들"을 검색하여 문제를 볼 수 있습니다.
현재 일부 문제만 해설이 작성되어 있습니다.
두 적분을 하나로 합치면 $$\iint_R \tan^{-1}{y\over x}dA$$이고 범위 $R$은 $$R=\{ (x,y)\mid 1\leq x\leq2,0\leq y\leq x \}$$가 된다. 각 side를 고려하면 $u=y/x$, $v=x$의 변환을 생각할 수 있다. 그러면 이 변환에 대응하는 영역은 $$S=\{ (u,v) \mid 0\leq u \leq 1,1\leq v\leq 2\}$$이다.
$$x=v,y=uv$$이고 야코비안은 $${\partial(x,y)\over\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\cfrac{\partial x}{\partial u} & \cfrac{\partial x}{\partial v} \\ \cfrac{\partial y}{\partial u} & \cfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0 & 1 \\ v & u \end{vmatrix}=-v$$이니 주어진 적분은 $$\iint_R \tan^{-1}{y\over x}dA=\int_0^1 \int_1^2 -v\tan^{-1}{u} dvdu=-{3\over2}\int_0^1 \tan^{-1}{u} du=-{3\over2}\left[ u\tan^{-1}{u}-{1\over2}\ln{(u^2+1)} \right]_0^1=-{3\over2}\left( {\pi\over4}-{1\over2}\ln{2} \right)$$이다.
주어진 영역을 구좌표계로 표현하면 $$E=\{ (\rho,\theta,\phi)\mid 0\leq\rho\leq2,0\leq\theta\leq 2\pi, \pi/3\leq\phi\leq5\pi/6\}$$이다. 따라서 이 부분의 부피는 $$\iiint_E dV=\int_{\pi/3}^{5\pi/6} \int_0^{2\pi} \int_0^2 \rho^2\sin{\phi} d\rho d\theta d\phi=$$이다.
주어진 surface를 매개변수를 이용해 표현하면 $$\textbf{r}(\phi,\theta)=\lt 2\sin{\phi}\cos{\theta},2\sin{\phi}\sin{\theta},2\cos{\phi} \gt(0\leq\theta\leq 2\pi, \pi/3\leq\phi\leq5\pi/6)$$이다. 따라서 넓이는 $$A=\iint_D |\textbf{r}_{\phi}\times\textbf{r}_{\theta}| dA=\iint_D 4\sin{\phi} dA=4\int_0^{2\pi} \int_{\pi/3}^{5\pi/6} \sin{\phi} d\phi d\theta=4\int_0^{2\pi} {\sqrt{3}+1\over2} d\theta=4\pi(\sqrt{3}+1)$$이다.
주어진 적분의 범위를 극좌표로 표현하면 $$\{(r,\theta)\mid \sec{\theta} \leq r \leq 2,\pi/4\leq \theta \leq \pi/3\}$$이다. 따라서 주어진 적분을 극좌표로 변환하면 $$\int_{\pi/4}^{\pi/3} \int_{\sec{\theta}}^2 {r\cos{\theta}\over r^2}rdrd\theta=\int_{\pi/4}^{\pi/3} \cos{\theta}(2-\sec{\theta}) d\theta=[2\sin{\theta}-\theta]_{\pi/4}^{\pi/3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}-{\pi\over12}$$이다.
두 적분의 범위를 합치고 $dzdxdy$의 순서로 적분을 할 수 있게 범위를 쓰면 $$E=\{ (x,y,z) \mid 0\leq y\leq 1,0\leq x\leq y, 0\leq z\leq y\}$$이다. 따라서 주어진 적분은 $$\int_0^1 \int_0^y \int_0^y e^{y^3} dzdxdy=\int_0^1 y^2 e^{y^3} dy=\left[ {1\over3}e^{y^3} \right]_0^1={1\over3}(e-1)$$이다.
주어진 곡선 $C$를 매개변수화하면 $$\begin{cases} x=(1-\sin{\theta})\cos{\theta} \\ y=(1-\sin{\theta})\sin{\theta} \end{cases} \enspace (0\leq \theta\leq\pi/2)$$이다.
주어진 벡터장 $\textbf{F}$는 $$\operatorname{curl}\textbf{F}=\begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\ \cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\ x(x^2+y^2+z^2) & y(x^2+y^2+z^2) & z(x^2+y^2+z^2)\end{vmatrix}=0$$이므로 보존벡터장이다. 따라서 선적분 값은 경로에 영향을 받지 않는다.
$A_1(a_1,b_1,c_1)$과 $A_2(a_2,b_2,c_2)$를 잇는 곡선을 $C$라 하자. 선적분의 기본정리에 의해 $$\int_C \textbf{F}\cdot d\textbf{r}=\int_C \nabla f\cdot d\textbf{r}$$이다. 퍼텐셜 함수를 찾기 위해 $\textbf{F}$의 각 성분을 적분하자. 그러면 각각 $${x^4\over4}+{(yx)^2\over2}+{(zx)^2\over2}+g(y,z)$$$${y^4\over4}+{(xy)^2\over2}+{(zy)^2\over2}+h(x,z)$$$${z^4\over4}+{(xz)^2\over2}+{(yz)^2\over2}+i(x,y)$$이니 $$f(x,y,z)={(x^2+y^2+z^2)^2\over4}$$이다. 따라서 구하는 일은 $$\int_C \nabla f\cdot d\textbf{r}=f(a_2,b_2,c_2)-f(a_1,b_1,c_1)=75$$이다.